一、在讲三阶行列式之前，先看下面关于三元一次方程组
这个三元一次方程组在空间坐标系中表示为三个相交的平面交于一点。若要求解这个方程组，按照以往还是要利用消元法进行求解。
第一步把式中的带入式中，得到关于的二元一次方程组
可以,从而解的
若用线性的方法该怎么解，我们先把这个方程组的数表写下来，每个方程缺少的元素用0填充。
此时把每一列都看成是一个空间向量，把这三个向量（2，0，-1）、（-1，-3，2），（0，4，-1）放大或缩小等操作后，再进行组合就可以得到向量（0，4，-1），很明显只要把（2，0，-1）和（-1，-3，2）乘以0并加上（0，4，-1）乘以1就会得到向量（0，4，-1）
二、三阶行列计算的推导
书本上给出的计算三阶行列式的方法是主对角线的乘积减去副对角线的乘积的，那它是怎么来的，书本上没给，但是他给了二阶行列式的推导过程。
按照消元法求解，首先消去,即把和得到关于,的二元一次方程组，步骤如下：
把得到关于,的二元一次方程组，再利用求解二阶行列式的方法来进行计算
可以求得
根据结果可以看到的分母是一样的，再按照二阶行列式的规律写出其分母的三阶行列式，并把每一项的元素用线条连起来平行于主对角线的线用红色实现连接，平行于副对角线的元素用黑色虚线连接，得到下图
根据以上结果，我们可以得到两个结论：
第一点，三阶行列式的计算包含6项，每项均为不同行不同列的三个元素的乘积再冠以正负号。
第二点，我们观察到平行于主对角线的联线上元素的乘积为正，平行于副对角线的联线上元素的乘积为负。
同理把的分子也写成三阶行列式
那么我们就可以推导出结果为：
其分子式可以写成三阶行列式：
为了数学的严谨性，我们再验算一下：
为了能够更清晰的算出,把中分子一个一个展开如下，其中的中的可以约掉。
其中同颜色的内容可以相互合并为0，最后计算出：
很明显得到的结果与推测的结果一致。
总结一下三阶行列式的特点，故名思意，即有3行3列且每一行每一列都有三个元素，其计算的方法主要概括为不同行不同列进行相乘，（平行于主对角线冠以正号，平行于副对角线冠以负号），并把所有组合（6种情况）进行相加。
